Dice numbers

Un simple problème mathématique pas si évident: 3x+1?

La conjecture de Collatz, également connue sous le nom de problème 3n+1, est l’un des problèmes les plus célèbres et les plus fascinants de la théorie des nombres. Cette conjecture, qui a été proposée par Lothar Collatz en 1937, pose la question suivante : si l’on prend n’importe quel nombre entier positif et que l’on applique répétitivement une série de calculs simples, arrivera-t-on toujours à un résultat final de 1 ?

Lothar Collatz (Photo courtesy MFO)

Plus précisément, voici les étapes de calcul qui sont appliquées à chaque nombre :

  • Si le nombre est pair, on le divise par 2.
  • Si le nombre est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1.

On continue à effectuer ces opérations jusqu’à ce que le nombre arrive à 1.

Par exemple, si l’on prend le nombre 6, on effectue les opérations suivantes :

  • 6 est pair, donc on le divise par 2 pour obtenir 3.
  • 3 est impair, donc on le multiplie par 3 et on ajoute 1 pour obtenir 10.
  • 10 est pair, donc on le divise par 2 pour obtenir 5.
  • 5 est impair, donc on le multiplie par 3 et on ajoute 1 pour obtenir 16.
  • 16 est pair, donc on le divise par 2 pour obtenir 8.
  • 8 est pair, donc on le divise par 2 pour obtenir 4.
  • 4 est pair, donc on le divise par 2 pour obtenir 2.
  • 2 est pair, donc on le divise par 2 pour obtenir 1.

On voit donc que pour le nombre 6, on arrive bien à 1.

Conjecture de Collatz pour les nombres de 1 à 10

Mais la question est de savoir si cela est vrai pour tous les nombres entiers positifs.

Malgré de nombreuses tentatives pour prouver ou réfuter la conjecture de Collatz, celle-ci reste un mystère. En effet, bien que la plupart des nombres testés jusqu’à présent suivent le schéma 1-4-2-1 (c’est-à-dire qu’ils finissent tous par arriver à 1), il existe encore des contre-exemples qui n’ont pas été résolus. En outre, il n’existe pas de méthode connue pour prédire à l’avance combien de temps il faudra pour arriver à 1 pour un nombre donné.

La conjecture de Collatz a suscité un grand intérêt dans le monde mathématique et a été l’objet de nombreuses recherches et études. Bien que la conjecture elle-même n’ait pas encore été prouvée, elle a conduit à des découvertes importantes dans d’autres domaines des mathématiques. En effet, la conjecture de Collatz est liée à des problèmes tels que la théorie des nombres premiers et la théorie des groupes.

En somme, la conjecture de Collatz est un problème fascinant qui continue de défier les mathématiciens du monde entier. Bien qu’elle n’ait pas encore été résolue, elle a conduit à des avancées importantes dans d’autres domaines des mathématiques et continue d’inspirer de nouvelles recherches et études.

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